простой вопрос математикам
Jan. 6th, 2025 11:32 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
imfromjasenevoА вот обязательно считать, что интеграл
равен нулю?
Уже прошло лет 25, как обнаружил, что системы символьной математики не очень умеют интегрировать дельта функции Дирака (на мой вкус), считая такой интеграл нулем.
И сейчас chatgpt упорно отказывается считать этот интеграл единицей 1/2.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2025-01-07 12:21 am (UTC)Во-первых, я не уверен, что чатгопоты внутри есть символьная математика: мой с ней опыт показывал, что скорее нет, чем да. Во-вторых, чему равен ваш интеграл, это вопрос не столько математикам, сколько автору задачи, в которой он возникает: как именно регуляризуется сингулярность в нуле? Из стандартного определения дельта-функции вовсе не следует, что она четна: можно придумать такую последовательность резких пиков, которая будет иметь пределом дельта(х), но при этом площадь под правой половинкой пика будет вдвое меньше, чем под левой. Или наоборот. А вы, скорее всего, неявно предполагаете, что они равны. Так что ваш интеграл нуждается в каком-то доопределении, и оно может быть коварным!
no subject
Date: 2025-01-07 04:25 am (UTC)no subject
Date: 2025-01-07 11:02 am (UTC)Стандартное определение -— это определение в смысле обобщенной функции: интеграл от delta(x) f(x) между бесконечными пределами равен f(0), уравнение (6) в процитированном тексте. Это более-менее единственное надежное ее свойство. Функцию с таким свойством можно приблизить разными нормальными функциями, но эти приближающие функции не обязаны быть четными. Например, дельта-образный пик приближается такой функцией: D(x > 0) = C exp(-Lx), D(x< 0) = C exp(Mx), где L и М -— большие числа, а С = LM / (L + M). Тогда интеграл 2x D(x) будет равен M / (L + M), то есть он зависит от соотношения L и М. Считать пик симметричным (L = M) кажется естественным, и тогда ваш интеграл равен половине, но это все указывает на то, что все зависит от того, что физически происходит в точке х=0, как именно сингулярность разрешается какими-то эффектами на малых масштабах.
Что в вашем выражении есть проблема, можно увидеть и по-другому, заменив его на 2x delta(x^2 — a), где а -— малый параметр. При a > 0 в интеграл дает вклад только точка x = sqrt(a), и интеграл таки равен единице. При a < 0 у выражения x^2 — a корней нет, и интеграл равен нулю. При а = 0 имеется разныв, и интеграл должен быть доопределен из каких-то внешних соображений, например, его "кажется естественным" положить равным половине.
no subject
Date: 2025-01-07 11:36 am (UTC)Кроме того, иногда используется свойство int(D(x),x=0..infinity)=1/2
и это свойство maple знает.
ну используется тождество иногда D(x^2-a^2)=1/2*a^(-1){D(x-a)+D(x+a)}
т.е. надо аккуратней с нахождением пределов.
no subject
Date: 2025-01-07 06:51 am (UTC)Согласно определению из Википедии, функция Хевисайда в нуле равна единице, т.е. θ(x) - 1/2 не равна нулю в нуле и потому не является нечётной. Значение интеграла при таком определении = 0.
А на dsplib определение функции Хевисайда иное, её значение в нуле задаётся как 1/2, тогда и значение интеграла = 1/2.
Будем считать эти два варианта леволиберальным и праволиберальным интегрированием.
Вариант с единицей не укладывается ни в один из них, это уже ультраправая или ультралевая математика.
no subject
Date: 2025-01-07 08:05 am (UTC)Так как, тогда дельта функция не получится, она должна быть четной, а при таком определении с положительной стороны не будет особенности вообще у нее.
А так 1/2 правильно
no subject
Date: 2025-01-07 01:01 pm (UTC)Контрольный вопрос. Чему равна производная θn(x), и чему равен интеграл nθn-1(x)δ(x) ?
no subject
Date: 2025-01-07 01:57 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-07 02:43 pm (UTC)Так вы же ровно это и делаете: заменой переменной t = x^2 ваш интеграл приводится к форме theta(t) delta(t) dt. (theta нужна, чтобы поставить "нормальные" пределы интегрирования от -бесконечности до +бесконечности.)
no subject
Date: 2025-01-07 02:47 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-07 02:56 pm (UTC)вот есть у нас int(D(x),x=0..infinity)=1/2 по определению Дирака.
кто нам мешает cделать замену переменных x=t^2?
no subject
Date: 2025-01-07 03:38 pm (UTC)Дирак обращался с обобщенными функциями (про которые никто тогда не знал, что они обобщенные) и с бесконечномерными пространствами крайне неаккуратно. Часто этот подход себя оправдывает и может быть обоснован с помощью какой-то регуляризации, но иногда подводит.
С математической точки зрения, работая с delta(x), нужно пользоваться теорией обобщенных функций (см, например, книгу Владимирова по урматам). В ней такого тождества, вообще говоря, нет. delta(x) — это функционал, определенный на пространстве непрерывных функций. Единственное свойство дельты в этой теории -— это что ее интеграл между бесконечными пределами с непрерывной функцией f(x) равен f(0). Значение функционала на разрывных функциях, вроде theta(t), строго говоря, не определено.
Физически же дельта-функции возникают как результат какого-то приближения, когда поведением на малых масштабах (межатомное расстояние, длина пробега, обрезка в КТП и т.д.) можно пренебречь и заменить резкий пик на дельта-функцию. Пока вы работаете с дельта-функцией по правилам теории обобщенных функций, вы можете быть уверены, что ответ зависит только от полной площади под этим резким пиком и не зависит от его детальной структуры, и никакая дополнительная информация вам не нужна. Но так бывает не всегда: иногда, чтобы получить корректное выражение, приходится использовать какое-то знание о структуре сингулярности. (Наиболее выдающийся пример — аномалии в КТП.) Например, если вы откуда-то совершенно точно знаете, что пик обязан быть симметричным, то вы можете добавить правило про интеграл от нуля до бесконечности. Но так ли это -— зависит от внешнего контекста, который в вашем первоначальном вопросе не задан.
no subject
Date: 2025-01-07 04:29 pm (UTC)Кстати у Владимирова кажется есть и отдельная книга по обобщенным функциям, вот ее не открывал фактически, хотя она мне она была доступна, даже не знаю где она осталась в институте или в московской личной библиотеке.
no subject
Date: 2025-01-07 04:42 pm (UTC)Забавно.
Правда если попросить разбить два интеграла считает, что все таки 1/2
no subject
Date: 2025-01-07 04:41 pm (UTC)Непонятно, что означает "обязательно" — и обобщённые функции определяются по-разному, и их интегрирование тоже может быть разное. Если $\delta_n$ последовательность чётных положительных функций с интегралом 1, концентрирующаяся в нуле, то такой интеграл от них стремится к 1./2 (но Вы, конечно, это и сами знаете).
no subject
Date: 2025-01-07 04:45 pm (UTC)Мне дельта функция нравилась всегда как объект, и я этот баг обнаружил еще когда учился.
no subject
Date: 2025-01-07 05:20 pm (UTC)ну всё-таки нет такого единого "объекта", как delta-функция, есть много разных подходов и в каждом своя delta-функция. Ситуация, когда люди "спрашивают у системы символьных вычислений ответ", а она сама как-то это интерпретирует, вообще нездоровая — если бы они спрашивали у специалиста, то добросовестный специалист попытался бы разобраться, откуда взялся исходный вопрос и какое определение тут наиболее правильно, а не просто бы вычислял несуществующий "ответ"
no subject
Date: 2025-01-07 05:43 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-09 06:16 pm (UTC)no subject
Date: 2025-02-02 05:36 am (UTC)Такое впечатление, что курс функционального анализа физики не слушали: воруй, убивай, еби гусей, умножай-дели обобщённые функции... Дискуссия напоминает споры о сумме ряда 1-1+1-1+1-1... во времена Эйлера.
no subject
Date: 2025-01-14 11:10 am (UTC)мне вспоминается, что ещё есть столь же интересный и содержательный вопрос: почему свёртка двух сигналов длительностью т каждый имеет длительность 2т, а свёртка этих же сигналов, взятых дискретно в n отсчётов каждый, имеет 2n-1 отсчётов?
no subject
Date: 2025-01-14 11:11 am (UTC)Если включаем дискретность, то (я никогда не работал с дискретной сверткой), но скорее всего один элементом они и зацепляются, поэтому общая длина меньше выходит на 1.
no subject
Date: 2025-01-14 07:39 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-14 07:42 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-14 07:55 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-14 07:57 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-14 10:11 pm (UTC)no subject
Date: 2025-01-17 07:25 pm (UTC)