простой вопрос математикам

[imfromjasenevo]

А вот обязательно считать, что интеграл

равен нулю?

Уже прошло лет 25, как обнаружил, что системы символьной математики не очень умеют интегрировать дельта функции Дирака (на мой вкус), считая такой интеграл нулем.
И сейчас chatgpt упорно отказывается считать этот интеграл единицей 1/2.

Comments

[izba-digest.livejournal.com]

Стандартное определение -— это определение в смысле обобщенной функции: интеграл от delta(x) f(x) между бесконечными пределами равен f(0), уравнение (6) в процитированном тексте. Это более-менее единственное надежное ее свойство. Функцию с таким свойством можно приблизить разными нормальными функциями, но эти приближающие функции не обязаны быть четными. Например, дельта-образный пик приближается такой функцией: D(x > 0) = C exp(-Lx), D(x< 0) = C exp(Mx), где L и М -— большие числа, а С = LM / (L + M). Тогда интеграл 2x D(x) будет равен M / (L + M), то есть он зависит от соотношения L и М. Считать пик симметричным (L = M) кажется естественным, и тогда ваш интеграл равен половине, но это все указывает на то, что все зависит от того, что физически происходит в точке х=0, как именно сингулярность разрешается какими-то эффектами на малых масштабах.

Что в вашем выражении есть проблема, можно увидеть и по-другому, заменив его на 2x delta(x^2 — a), где а -— малый параметр. При a > 0 в интеграл дает вклад только точка x = sqrt(a), и интеграл таки равен единице. При a < 0 у выражения x^2 — a корней нет, и интеграл равен нулю. При а = 0 имеется разныв, и интеграл должен быть доопределен из каких-то внешних соображений, например, его "кажется естественным" положить равным половине.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

Cам Дирак определял свою функцию, как четную все же D(x)=D(-x) (cм. его Принципы квантовой механики стр. 86, 1979).
Кроме того, иногда используется свойство int(D(x),x=0..infinity)=1/2
и это свойство maple знает.

ну используется тождество иногда D(x^2-a^2)=1/2*a^(-1){D(x-a)+D(x+a)}
т.е. надо аккуратней с нахождением пределов.