простой вопрос математикам

[imfromjasenevo]

А вот обязательно считать, что интеграл

равен нулю?

Уже прошло лет 25, как обнаружил, что системы символьной математики не очень умеют интегрировать дельта функции Дирака (на мой вкус), считая такой интеграл нулем.
И сейчас chatgpt упорно отказывается считать этот интеграл единицей 1/2.

Comments

[izba-digest.livejournal.com]

Так вы же ровно это и делаете: заменой переменной t = x^2 ваш интеграл приводится к форме theta(t) delta(t) dt. (theta нужна, чтобы поставить "нормальные" пределы интегрирования от -бесконечности до +бесконечности.)

[imfromjasenevo.livejournal.com]

в данном случае эта тета имеет 1 в нуле, ее можно использовать и вообще не писать. Это не та тета, производной которой будет четная дельта функция Дирака.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

можно же и в обратную сторону идти
вот есть у нас int(D(x),x=0..infinity)=1/2 по определению Дирака.

кто нам мешает cделать замену переменных x=t^2?

[izba-digest.livejournal.com]

Дирак обращался с обобщенными функциями (про которые никто тогда не знал, что они обобщенные) и с бесконечномерными пространствами крайне неаккуратно. Часто этот подход себя оправдывает и может быть обоснован с помощью какой-то регуляризации, но иногда подводит.

С математической точки зрения, работая с delta(x), нужно пользоваться теорией обобщенных функций (см, например, книгу Владимирова по урматам). В ней такого тождества, вообще говоря, нет. delta(x) — это функционал, определенный на пространстве непрерывных функций. Единственное свойство дельты в этой теории -— это что ее интеграл между бесконечными пределами с непрерывной функцией f(x) равен f(0). Значение функционала на разрывных функциях, вроде theta(t), строго говоря, не определено.

Физически же дельта-функции возникают как результат какого-то приближения, когда поведением на малых масштабах (межатомное расстояние, длина пробега, обрезка в КТП и т.д.) можно пренебречь и заменить резкий пик на дельта-функцию. Пока вы работаете с дельта-функцией по правилам теории обобщенных функций, вы можете быть уверены, что ответ зависит только от полной площади под этим резким пиком и не зависит от его детальной структуры, и никакая дополнительная информация вам не нужна. Но так бывает не всегда: иногда, чтобы получить корректное выражение, приходится использовать какое-то знание о структуре сингулярности. (Наиболее выдающийся пример — аномалии в КТП.) Например, если вы откуда-то совершенно точно знаете, что пик обязан быть симметричным, то вы можете добавить правило про интеграл от нуля до бесконечности. Но так ли это -— зависит от внешнего контекста, который в вашем первоначальном вопросе не задан.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

Владимиров не был моим учебником (у нас был Боголюбов Кравцов Свешников и он конечно менее математизирован), но держал Владимирова в руках и в общем пытался немного его изучать. Но в итоге с собой его не забрал, когда уезжал из Москвы.
Кстати у Владимирова кажется есть и отдельная книга по обобщенным функциям, вот ее не открывал фактически, хотя она мне она была доступна, даже не знаю где она осталась в институте или в московской личной библиотеке.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

В любом случае, что мaple считает, что int(Dirac(x), x = 0 .. infinity)=1/2, а вот chatgpt cчитает, что это 1.
Забавно.
Правда если попросить разбить два интеграла считает, что все таки 1/2