На всякий случай

[imfromjasenevo]

Позапрошлый пост про убегающее на бесконечность уравнение убрал, там в моих  комментариях была ошибка в знаке одного члена, как понял утром.
Дело не меняется качественно, но пусть будет правильно написано.


За обсуждение огромное  спасибо:
a_shen, greygreengo, phoonzang, xgrbml, xaxam

Comments

[xaxam.livejournal.com]

Редактировать собственно пост можно и после комментариев (в отличие от "завистованного" коммента), так что можно было бы сохранить тамошнее обсуждение. Я, кажется, проврался в вычислении (хоть это и ни на что не влияет, стратегия вроде правильная).

[imfromjasenevo.livejournal.com]

открыл, там с точностью до коэффициента ок.
Я в общем сам стал сравнивать с аналогичной функцией, чтобы понять, как так решение убегает (тоже решил, что логарифм не должен влиять на характер убегания).
В принципе это не так уж важно важно, так как численное решение есть (а для теста решения можно и с асимптотикой около нуля сравнивать) и этого наверно достаточно для нашей легкой науки.
Просто хотелось посмотреть нельзя найти характер асимптотики из уравнения, так бы это было интересней.
Ну и я никогда не встречал уравнений, которые бы уходили на бесконечность за конечное время, хотя конечно ничего сложного в таких уравнениях нет. Просто для механики они не характерны.

[xaxam.livejournal.com]

С уравнениями полиномиальными (или асимптотически полиномиальными на бесконечности) работает стандартный подход: переписать их в карте y=1/x, и посмотреть, что будет вблизи нуля. Например, стандартное уравнение \dot x=x^2 в этой карте становится уравнением \dot y=-1. Это означает, что фазовый поток проносит решение с постоянной ненулевой скоростью через точку y=0, которая в этой карте совершенно ничем не выделяется среди соседей. У уравнения \dot x=x^3 получаем уже особенность, \dot y=-1/y, которое "двулистно" накрывает неособую точку, (1/2)d(y^2)= -dt.

Эта теория объясняет, почему полиномиальное автономное дифференциальное уравнение dy/dx=P(x,y)/Q(x,y) хорошо "продолжается на бесконечность", хоть решения и уходят туда за конечное время.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

спасибо, а в каких стандартных курсах это обсуждается?
мой базовый курс по дифурам это Тихонов -Васильева-Свешников и там нет подобного обсуждения, там из нестандартного только сингулярные возмущения, как мне кажется.

[xaxam.livejournal.com]

Некрасиво ссылаться на собственный учебник ;-) Напишите мне на xaxxam@gmail.com, и я вышлю вам авторский е-кземпляр ;-)

[(Anonymous)]

Там трехчлен,как в анекдоте

[izba-digest.livejournal.com]

Ну вам вроде все уже написали: асимптотика при больших x такова, что с какого-то x порядка единицы решение взрывается за время порядка единицы. И если все коэффициенты порядка единицы, то время взрыва может быть сильно больше единицы только за счет малого параметра в начальном условии. Например, для уравнения dx/dt = x^2 время взрыва равно 1/x_0, где x_0 --- значение x при t=0. Если x_0 мало, то время взрыва велико. Если искать какую-то нетривиальную оценку, то надо спросить, за какое время решение добегает от x = 0 до x порядка 1. И в этой связи можно заметить, что ваша задача, кажется, нуждается в каком-то доопределении при t=0: выражение x/t при x(0) = 0 имеет вид 0/0.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

вообще-то не особо нуждается, мы знаем из физики, что решение гладкое в нуле и поэтому
x=-C_1/2*t+O(t^3)

[izba-digest.livejournal.com]

Как говорилось в неприличном анекдоте, "точнее формулируйте условие задачи". То есть начальное условие надо задавать не через x(0), а через отношение x(t)/t. Ну тогда, скорее всего, решение взрывается за время порядка единицы. "Потому что --- как же иначе", параметра-то нет.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

не понял, а почему?
мы же просто можем подставить ряд Тейлора для x(t) и найти разложение x в асимптотическом смысле около нуля.

[izba-digest.livejournal.com]

Обратите внимание, что при x->0 и t->0 ваше уравнение вырождается в dx/dt = -x/t, у коего есть сингулярное решение x = a/t с произвольной константой a. Если физически вы ожидаете, что x(t) регулярна при t->0, то гранусловие, соответственно, состоит в том, что эта особенность должна быть как-то подавлена. А уж чему при этом окажется равно x(0), это уж пусть уравнение само решит.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

нет, там еще константа С_1 будет же при стремлении к нулю

[izba-digest.livejournal.com]

У уравнения dx/dt = -C1 - x/t вроде бы тоже есть такое же сингулярное решение.

То есть, похоже, вы и выводите начальное поведение из условия регулярности, а не из конкретного значения при t=0. Ну тогда у вас вроде как пропадает соответствующая свобода выбора.

[imfromjasenevo.livejournal.com]

да, из условия регулярности по сути, хотя я это просто гладкостью назвал

[imfromjasenevo.livejournal.com]

спасибо огромное!